Tweet 魔法少女まどか☆マギカ 第10話 数学 問1.

追記：魔法少女まどか☆マギカ　第10話 数学 問2をアップしました
そう何ヶ月も更新しないわけにもいかないので、余興に、魔法少女まどか☆マギカにて、ほむらが指名される一つ前の問題（上の動画2:11）を解いてみます。

問題は以下の通り。

問題：
$$f(x) = \frac{4x + \sqrt{4x^2 - 1}}{\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x-1}}$$
とします。
$$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(60)$$
を計算してください。

解答：
与式の分子・分母両方に、$(\sqrt{2x+1} - \sqrt{2x-1})$ を掛けます。すると、
（分子）* $(\sqrt{2x+1} - \sqrt{2x-1})$ =
$$\begin{align*} (4x & + \sqrt{4x^2-1})(\sqrt{2x+1} - \sqrt{2x-1})\\ & =(4x + \sqrt{(2x+1)(2x-1)})(\sqrt{2x+1} - \sqrt{2x-1})\\ & =4x(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1})+(2x+1)\sqrt{2x-1}-(2x-1)\sqrt{2x+1}\\ & =(2x+1)\sqrt{2x+1}-(2x-1)\sqrt{2x-1}\\ & =(2x+1)^{3/2}-(2x-1)^{3/2} \end{align*}$$
（分母） *$(\sqrt{2x+1} - \sqrt{2x-1})$=
$$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x-1})(\sqrt{2x+1} - \sqrt{2x-1})=(2x+1)-(2x-1)=2$$

となり、f(x)は以下のように変形できることが分かります。
$$f(x)=\frac{1}{2}\left[ (2x+1)^{\frac{3}{2}} - (2x-1)^{\frac{3}{2}} \right]$$
ここでf(x)をx=1からx=60まで足していくと、
$$\begin{align*} f(1)+f(2)& +f(3)+\cdots +f(60)\\ & =\frac{1}{2} \bigg[ \left\{(2+1)^{\frac{3}{2}} - (2-1)^\frac{3}{2}\right\} + \left\{(4+1)^{\frac{3}{2}} - (4-1)^\frac{3}{2}\right\} + \cdots\\ &\qquad \qquad \cdots + \left\{(120+1)^{\frac{3}{2}} - (120-1)^\frac{3}{2}\right\}\bigg]\\ & =\frac{1}{2} \bigg[ \left\{(3)^{\frac{3}{2}} - (1)^\frac{3}{2}\right\} + \left\{(5)^{\frac{3}{2}} - (3)^\frac{3}{2}\right\} + \cdots + \left\{(121)^{\frac{3}{2}} - (119)^\frac{3}{2}\right\}\bigg]\\ & =\frac{1}{2} \left[ (121)^{\frac{3}{2}} - (1)^\frac{3}{2} \right]\\ & = \frac{1330}{2} = 665 \end{align*}$$
となります。
以上から、答えは 665 になります。